現在両親が離婚調停中で、父とは別居しています。まだひとり親世帯ではないため、児童扶養手当は受けていません。母は住民税が非課税だそうですが、父が課税されているかは分かりません。申し込みの対象になりますか？

お母さまが住民税非課税であれば、申込要件の「エ」にあてはまります。
離婚調停やDVからの避難のため両親が別居している場合、お子さんと一緒に暮らしている保護者の方が住民税非課税、または生活保護を受けていれば、もう片方の保護者の方が住民税が課税されていたとしても、申込要件にあてはまります。