父・母ともに私が小さい頃に亡くなっており、七尾市の祖母のもとで生活しています。祖母は住民税が非課税のようです。申し込みの対象になりますか？

はい。祖父母やおじ・おばなど父母以外の親族が保護者となっている場合も、「対象地域」「対象年齢」「申込要件」の3つにあてはまるご状況であれば申し込むことができます。

たとえば叔父・叔母夫妻のもとに引き取られているという場合は、叔父・叔母ふたりとも住民税が非課税である、または生活保護を受けている場合は「申込要件」にあてはまります。
ただし、2人のうちどちらかが住民税が課税されている場合は申込要件にあてはまりません。