サプリメントを飲めば他の日焼け対策はしなくても大丈夫ですか？

いいえ。
サプリメントは紫外線や酸化ストレスによる肌へのダメージを内側からケアすることはできますが、外側からの物理的な紫外線ダメージを直接防ぐことはできません。
ダメージを受け続けると、光老化は進む一方になり、ソルプロプリュスホワイトの効果実感も乏しくなりますので日焼け止めなどの紫外線対策も併せて行うことが大切です。