カラオケ店の音源を流すのではなく、Radiotalkが公式に提供する「カラオケチケット」を使って「歌ってみた」を演奏する形式であれば可能です。著作権管理団体への申請も不要です。
▼参考：カラオケチケット
https://radiotalk.jp/articles/manual-karaoke
なお、「カラオケチケット」を使わずに、販売されている楽曲の音源を無許可で配信に流すことは著作隣接権の侵害となり、Radiotalkの利用規約違反となります。
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