学校の授業内容や受験対策以外にTOEICや英検の授業を依頼することは可能ですか？

家庭教師ごとに異なります。
指導を希望される家庭教師に直接学校の授業の補習についてやTOEICや英検の指導を希望している旨を伝え、指導可能であるかどうかをご確認ください。