他社の商品や自社のグッズを読者やフォロワーにプレゼントする際に、特定のハッシュタグの投稿を応募条件とすることは、関係性の明示が必要か。

不要です。
また、プレゼントされた商品を受け取った方がその商品に関する投稿をいただく際にも、関係性の明示は不要です。

もっとも、応募条件とするハッシュタグの内容が商品サービスの感想や品質となる場合には関係性の明示が必要となります。
例：「＃私は食品Aが世界一好き」「＃化粧品Aでシミが全部消えた」