ほとんどの場合が染まります。
まれにポリエステル糸を使用した刺繍は染まらずに残ることがあります。
ただし刺繍糸の繊維の種類の識別はほどいて確かめられないので不可能です。
ちなみにある程度まとまった量の糸がある場合は下記のように「燃焼試験」によって糸の種類をある程度識別することができます。
刺繍糸は染まりますか？