診察券を預けて、代わりに病院の受診受付をしてもらうことは可能ですか？

はい、対応可能です。
診察券は当日にお預かりし、受付完了後に当日中にお返しいたします。

なお、医療機関によっては本人確認等の都合上、「代理人による受付」を認められていない場合がございます。お手数ですが、事前に対象の病院へ「代理人による受付が可能か」をご確認のうえ、ご依頼いただけますようお願いいたします。