電子情報処理組織使用届出書は、書面による提出と、EEGSによる電子提出の両方が必要か。

両方ではなく、どちらか一つです。EEGSによる提出の場合は、まず、GビズＩＤ（政府が提供する法人・個人事業主向け共通認証システム）でEEGSにログインすることにより提出できます。