現在、申込者（子ども）の父母が離婚調停中で別居しており、申込者は母と一緒に暮らしています。父は住民税が課税されており、母は非課税です。申し込むことはできますか？

実態として生計が別であれば、申し込みできます。
また、DVや子どもへの虐待などのため、避難中・別居中である場合も、実質的に生計が別となるため申し込みできます。