アカウントの表示名を変更したのに、募集ツイートでは古い名前のままになってしまいます

それはTwitter側で保存されている情報が更新されていないために起こる問題です。
こちらのページで情報を更新すると、最新の情報が反映されます。
https://cards-dev.twitter.com/validator

「Card URL」に募集ツイート時のURLを貼り付け、「Preview Card」ボタンを押すと、現在の名前が表示されるようになります。