être obligé/e/s de ＋infと
devoirの違いですね。
obligerは～を強いる、という意味合いが強いので、
外的要因によって「そうせざるを得ない」場合に使います。
例えば
Il pleut beaucoup aujourd’hui.
Je suis oblige de rester à l’intérieur.
雨がたくさん降っているから、室内にいなければならない☔
否定形にした時に一番違いが出るかな、と思います。
Je ne dois pas～でしたら「～してはいけない」ですが、
Je ne suis pas obligée～は
「～する必要がない」という意味になります！